关于一种导数题中夹零点于放缩的思考

废话少说,先看题:

f(x)=exa(x+2)f(x)=e^x-a(x+2)有且仅有22个零点,求aa的取值范围.

这个题的思路很明确,首先对f(x)f(x)求导,得到:

f(x)=exaxf'(x)=e^x-ax

易知:

  • f(x)f(x)(,lna](-\infty,\ln a]单调递减.
  • f(x)f(x)[lna,+)[\ln a,+\infty)单调递增.

然后可以求得:

f(x)min=f(lna)=aa(lna+2)f(x)_{\min}=f(\ln a)=a-a(\ln a+2)

显而易见的是,f(x)f(x)有两个零点的必要条件是f(x)min<0f(x)_{\min}<0,即:

a(1e,+)a\in(\frac{1}{e},+\infty)

然后我们需要做的是把这两个零点夹出来.

首先:

f(1)=1ea<0f(-1)=\frac{1}{e}-a<0

又因为f(2)>0f(-2)>0,所以f(x)f(x)(,lna](-\infty,\ln a]有且仅有一个零点.

接下来就到了这个问题的关键步骤了,即:证明f(x)f(x)(lna,+)(\ln a,+\infty)存在唯一零点.

任取x0>4x_0>4x0>2ln2ax_0>2\ln 2a,由于ex>x+2(x>2)e^x>x+2(x>2)(当且仅当x=0x=0取等)[1],故:

f(x0)=ex0a(x0+2)=ex02ex02a(x0+2)>2a(x02+1)a(x0+2)=a>0\begin{aligned} f(x_0)=&e^{x_0}-a(x_0+2)\\ =&e^\frac{x_0}{2}e^\frac{x_0}{2}-a(x_0+2)\\>&2a(\frac{x_0}{2}+1)-a(x_0+2)\\ =&a>0 \end{aligned}

所以f(x)f(x)(lna,+)(\ln a, +\infty)有且仅有一个零点.

这个题的证明算是结束了,这个问题也是标准答案给出的证明方法.于是CRS不禁好奇:

任取x0>2ln2ax_0>2\ln 2a

它的原理究竟是什么?

众所周知:

exx+1e^x\geq x+1

则有:

exln2axln2a+1e^{x-\ln 2a}\geq x-\ln 2a+1

变形可得:

ex2a(xln2a+1)e^x\geq 2a(x-\ln 2a+1)

所以:

f(x)=exa(x+2)a(2x2lna+2x2)=a(x2ln2a)\begin{aligned} f(x)=&e^x-a(x+2)\\\geq&a(2x-2\ln a+2-x-2)\\ =&a(x-2\ln 2a) \end{aligned}

(当且仅当x=ln2ax=\ln2a取等)

因此,我们只要取x0>2ln2ax_0>2\ln2a即可使f(x)>0f(x)>0.

类似地,上述证明为解决形如:

f(x)=exa(x+t)f(x)=e^x-a(x+t)tt为常数)有且仅有22个零点,求aa的取值范围.

的问题提供的一种解决思路,此问题留给读者思考.

(很显然,结论是f(x)min<0f(x)_{\min}<0,即a(e1t,+)a\in(e^{1-t},+\infty),但关键是怎么把零点夹出来.)


  1. 这道题原题第一问证明的结论. ↩︎

作者

李星烨

发布于

2021-08-15

更新于

2021-08-20

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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